Формула емкости конденсатора через площадь

Формула емкости конденсатора через площадь

Электродинамика > Статика > Ёмкость плоского конденсатора (С). Пример см. здесь.

Содержание Величина Наименование
Конденсатор — электрический прибор, состоящий из двух проводящих пластин, разделенных слоем диэлектрика. Конденсаторы служат для накопления зарядов с целью их отдачи в нужный момент времени, а также в цепях переменного тока для деления зарядов (параллельное соединение) и для деления напряжения (последовательное соединение).
— обозначение конденсатора на схеме.

— емкость конденсатора (С).

Если его пластины образуют параллельные плоскости, то его называют плоским.

— емкость плоского конденсатора.

Зависит от площади его пластин S; от расстояния между его пластинами d; от материала, заполняющего пространство между пластинами ε. При изготовлении конденсатора большой емкости стремятся сделать большое S при малом d, а также заполнить его пространство веществами с большим ε.
Не зависит от напряжения U и от заряда q.

Формулы, где встречается С:

— энергия заряженного конденсатора

См. также: Портал:Физика
Электрическая ёмкость
C <displaystyle C>
Размерность L -2 M -1 T 4 I 2
Единицы измерения
СИ фарад
СГС сантиметр

Электри́ческая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности накапливать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы, представленного в виде двухполюсника. Такая ёмкость определяется как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между этими проводниками [1] .

Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид

C = Q φ , <displaystyle C=<frac <varphi >>,>

где Q <displaystyle Q> — заряд, φ <displaystyle varphi > — потенциал проводника.

Ёмкость определяется геометрическими размерами и формой проводника и электрическими свойствами окружающей среды (её диэлектрической проницаемостью) и не зависит от материала проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса R равна (в системе СИ):

C = 4 π ε 0 ε r R , <displaystyle C=4pi varepsilon _<0>varepsilon _R,>

Известно, что φ 1 − φ 2 = ∫ 1 2 E d l ⇒ φ = ∫ R ∞ E d l = 1 4 π ε r ε 0 ∫ R ∞ q r 2 d r = 1 4 π ε ε 0 q R . <displaystyle varphi _<1>-varphi _<2>=int _<1>^<2>E,dlRightarrow varphi =int _^<mathcal <infty >>E,dl=<frac <1><4pi varepsilon _varepsilon _<0>>>int _^<mathcal <infty >><frac <2>>>,dr=<frac <1><4pi varepsilon varepsilon _<0>>><frac >.>

Так как C = q φ <displaystyle C=<frac <varphi >>> , то подставив сюда найденный φ <displaystyle varphi > , получим, что C = 4 π ε 0 ε r R . <displaystyle C=4pi varepsilon _<0>varepsilon _R.>

Читайте также:  Каким лаком покрыть лдсп

Понятие ёмкости также относится к системе проводников, в частности, к системе двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом, — к конденсатору. В этом случае ёмкость (взаимная ёмкость) этих проводников (обкладок конденсатора) будет равна отношению заряда, накопленного конденсатором, к разности потенциалов между обкладками. Для плоского конденсатора ёмкость равна:

C = ε 0 ε r S d , <displaystyle C=varepsilon _<0>varepsilon _<frac >,>

где S — площадь одной обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), d — расстояние между обкладками, εr — относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками.

Содержание

Электрическая ёмкость некоторых систем [ править | править код ]

Вычисление электрической ёмкости системы требует решение Уравнения Лапласа ∇ 2 φ = 0 с постоянным потенциалом φ на поверхности проводников. Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.

В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также Отображение Шварца — Кристоффеля.

Электрическая ёмкость простых систем (СГС)

Вид Ёмкость Комментарий
Плоский конденсатор ε S d <displaystyle <frac <varepsilon S>>> S: Площадь
d: Расстояние
Коаксиальный кабель 2 π ε l ln ⁡ ( R 2 / R 1 ) <displaystyle <frac <2pi varepsilon l><ln left(R_<2>/R_<1>
ight)>>>
l: Длина
R1
: Радиус
R2: Радиус
Две параллельные проволоки [2] π ε l arcosh ⁡ ( d 2 a ) = π ε l ln ⁡ ( d 2 a + d 2 4 a 2 − 1 ) <displaystyle <frac <pi varepsilon l> <operatorname left(<frac <2a>>
ight)>>=<frac <pi varepsilon l><ln left(<frac
<2a>>+<sqrt <<frac <2>><4a^<2>>>-1>>
ight)>>>
a: Радиус
d: Расстояние, d > 2a
Проволока параллельна стене [2] 2 π ε l arcosh ⁡ ( d a ) = 2 π ε l ln ⁡ ( d a + d 2 a 2 − 1 ) <displaystyle <frac <2pi varepsilon l> <operatorname left(<frac >
ight)>>=<frac <2pi varepsilon l><ln left(<frac
>+<sqrt <<frac <2>><2>>>-1>>
ight)>>>
a: Радиус
d: Расстояние, d > a
l: Длина
Две параллельные
компланарные полосы [3]
ε l K ( 1 − k 2 ) K ( k ) <displaystyle varepsilon l<frac <2>>>
ight)>>>
d: Расстояние
w1, w2: Ширина полос
km: d/(2wm+d)
Два концентрических шара 4 π ε 1 R 1 − 1 R 2 <displaystyle <frac <4pi varepsilon ><<frac <1><1>>>-<frac <1><2>>>>>> R1: Радиус
R2: Радиус Два шара,
тот же самый радиус [4] [5] 2 π ε a ∑ n = 1 ∞ sinh ⁡ ( ln ⁡ ( D + D 2 − 1 ) ) sinh ⁡ ( n ln ⁡ ( D + D 2 − 1 ) ) <displaystyle 2pi varepsilon asum _^<infty ><frac <sinh left(ln left(D+<sqrt <2>-1>>
ight)
ight)><sinh left(nln left(D+<sqrt <2>-1>>
ight)
ight)>>>
= 2 π ε a < 1 + 1 2 D + 1 4 D 2 + 1 8 D 3 + 1 8 D 4 + 3 32 D 5 + O ( 1 D 6 ) ><displaystyle =2pi varepsilon aleft<1+<frac <1><2D>>+<frac <1><4D^<2>>>+<frac <1><8D^<3>>>+<frac <1><8D^<4>>>+<frac <3><32D^<5>>>+Oleft(<frac <1><6>>>
ight)
ight>>
= 2 π ε a < ln ⁡ 2 + γ − 1 2 ln ⁡ ( d a − 2 ) + O ( d a − 2 ) ><displaystyle =2pi varepsilon aleft<ln 2+gamma -<frac <1><2>>ln left(<frac >-2
ight)+Oleft(<frac
>-2
ight)
ight>>
a: Радиус
d: Расстояние, d > 2a
D = d/2a
γ: Постоянная Эйлера Шар вблизи стены [4] 4 π ε a ∑ n = 1 ∞ sinh ⁡ ( ln ⁡ ( D + D 2 − 1 ) ) sinh ⁡ ( n ln ⁡ ( D + D 2 − 1 ) ) <displaystyle 4pi varepsilon asum _^<infty ><frac <sinh left(ln left(D+<sqrt <2>-1>>
ight)
ight)><sinh left(nln left(D+<sqrt <2>-1>>
ight)
ight)>>> a: Радиус
d: Расстояние, d > a
D = d/a Шар 4 π ε a <displaystyle 4pi varepsilon a> a: Радиус Круглый диск [6] 8 ε a <displaystyle 8varepsilon a> a: Радиус Тонкая прямая проволока,
ограниченная длина [7] [8] [9] 2 π ε l Λ < 1 + 1 Λ ( 1 − ln ⁡ 2 ) + 1 Λ 2 [ 1 + ( 1 − ln ⁡ 2 ) 2 − π 2 12 ] + O ( 1 Λ 3 ) ><displaystyle <frac <2pi varepsilon l><Lambda >>left<1+<frac <1><Lambda >>left(1-ln 2
ight)+<frac <1><Lambda ^<2>>>left[1+left(1-ln 2
ight)^<2>-<frac <pi ^<2>><12>>
ight]+Oleft(<frac <1><Lambda ^<3>>>
ight)
ight>> a: Радиус проволоки
l: Длина
Λ: ln(l/a)
Читайте также:  Какие камни для печи везувий

Эластанс [ править | править код ]

Величина обратная ёмкости называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИ [10] .

Конденсаторы

Электрическая емкость

При сообщении проводнику заряда на его поверхности появляется потенциал φ, но если этот же заряд сообщить другому проводнику, то потенциал будет другой. Это зависит от геометрических параметров проводника. Но в любом случае потенциал φ пропорционален заряду q.

. (5.4.1)

Коэффициент пропорциональности С называют электроемкостьюфизическая величина, численно равная заряду, который необходимо сообщить проводнику для того, чтобы изменить его потенциал на единицу.

. (5.4.2)

Единица измерения емкости в СИ – фарада. 1 Ф = 1Кл/1В.

Если потенциал поверхности шара

(5.4.3)
(5.4.4)

По этой формуле можно рассчитать емкость Земли. Если диэлектрическая проницаемость среды ε = 1 (воздух, вакуум) и то имеем, что CЗ = 7·10 –4 Ф или 700 мкФ.

Чаще на практике используют более мелкие единицы емкости: 1 нФ (нанофарада) = 10 –9 Ф и 1пкФ (пикофарада) = 10 –12 Ф.

Необходимость в устройствах, накапливающих заряд, есть, а уединенные проводники обладают малой емкостью. Опытным путем было обнаружено, что электроемкость проводника увеличивается, если к нему поднести другой проводник – за счет явления электростатической индукции.

Конденсатор – это два проводника, называемые обкладками, расположенные близко друг к другу.

Конструкция такова, что внешние, окружающие конденсатор тела, не оказывают влияние на его электроемкость. Это будет выполняться, если электростатическое поле будет сосредоточено внутри конденсатора, между обкладками.

Конденсаторы бывают плоские, цилиндрические и сферические.

Так как электростатическое поле находится внутри конденсатора, то линии электрического смещения начинаются на положительной обкладке, заканчиваются на отрицательной, и никуда не исчезают. Следовательно, заряды на обкладках противоположны по знаку, но одинаковы по величине.

Читайте также:  Как правильно разводить платы

Емкость конденсатора равна отношению заряда к разности потенциалов между обкладками конденсатора:

(5.4.5)

Помимо емкости каждый конденсатор характеризуется Uраб (или Uпр.) – максимальное допустимое напряжение, выше которого происходит пробой между обкладками конденсатора.

Емкостные батареи – комбинации параллельных и последовательных соединений конденсаторов.

1) Параллельное соединение конденсаторов (рис. 5.9):

В данном случае общим является напряжение U:

.

Сравните с параллельным соединением сопротивлений R:

.

Таким образом, при параллельном соединении конденсаторов суммарная емкость

.

Общая емкость больше самой большой емкости, входящей в батарею.

2) Последовательное соединение конденсаторов (рис. 5.10):

Общим является заряд q.

или , отсюда

(5.4.6)

Сравните с последовательным соединением R:

Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов общая емкость меньше самой маленькой емкости, входящей в батарею:

Расчет емкостей различных конденсаторов

1. Емкость плоского конденсатора

Напряженность поля внутри конденсатора (рис. 5.11):

Напряжение между обкладками:

где – расстояние между пластинами.

Так как заряд , то

. (5.4.7)

Как видно из формулы, диэлектрическая проницаемость вещества очень сильно влияет на емкость конденсатора. Это можно увидеть и экспериментально: заряжаем электроскоп, подносим к нему металлическую пластину – получили конденсатор (за счет электростатической индукции, потенциал увеличился). Если внести между пластинами диэлектрик с ε, больше, чем у воздуха, то емкость конденсатора увеличится.

Из (5.4.6) можно получить единицы измерения ε:

(5.4.8)

.

2. Емкость цилиндрического конденсатора

Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора, изображенного на рисунке 5.12, может быть рассчитана по формуле:

где λ – линейная плотность заряда,R1 иR2 – радиусы цилиндрических обкладок,l– длина конденсатора, .

Тогда, так как , получим

(5.4.9)

Понятно, что зазор между обкладками мал: то есть

Тогда

(5.4.10)

3. Емкость шарового конденсатора (рис. 5.13)

Из п. 3.6 мы знаем, что разность потенциала между обкладками равна:

Тогда, так как , получим

.

Это емкость шарового конденсатора, где R1 и R2 – радиусы шаров.

В шаровом конденсаторе – расстояние между обкладками. Тогда

(5.4.11)

Таким образом, емкость шарового конденсатора с достаточной степенью точности можно рассчитать так же, как и емкость плоского, и цилиндрического конденсаторов.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector