Второй закон кирхгофа для цепи синусоидального тока

Второй закон кирхгофа для цепи синусоидального тока

Законы Кирхгофа, рассмотренные ранее для цепей постоянного тока, справедливы и для мгновенных значений синусоидального тока.

Первый закон Кирхгофаприменяется к узлам электрической цепи и гласит:алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле электрической цепи равна нулю, т.е.

ik = 0,

где ik— токk-й ветви, присоединенной к данному узлу;n— число ветвей, подключенных к данному узлу.

Токи, направленные к узлу, записываются со знаком “+”, а направленные от узла — со знаком “” (или наоборот).

Второй закон Кирхгофаприменяется к контурам электрической цепи. Контур — любой путь вдоль ветвей электрической цепи, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же точке. Второй закон Кирхгофа формулируется следующим образом:алгебраическая сумма мгновенных значений падений напряжений на элементах контура равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС, действующих в этом контуре:

uk = ek,

где uk— напряжение на к-м сопротивлении контура;ek к-я ЭДС, входящая в данный контур;n — число сопротивлений в контуре;m — число ЭДС в контуре.

Для составления уравнений по второму закону Кирхгофа направление обхода контура выбирается произвольно. ЭДС и падения напряжения, направления которых совпадают с направлением обхода контура, считаются положительными.

Законы Кирхгофамогут быть представлены в векторной или комплексной формах:

k = 0, k = k,

Расчет электрических цепейпо законам Кирхгофа в цепях синусоидального тока проводится в том же порядке, что и для цепей постоянного тока.

Резистивный элемент в цепи синусоидального тока

Рассмотрим цепь, содержащую только резистивный элемент (резистор) с сопротивлением R. Мгновенное значение тока в цепи с резистором (рис. 3,а) определяется по закону Ома:

если uR = Um sin t, получимiR= (Um /R) sint = Im sin t, гдеIm= Um/R, разделив левую и правую части на, получим закон Ома для цепи с резистором, выраженный через действующие значения напряжения и тока в нем:

Сравнивая выражения для тока iR и напряженияuRможно сделать вывод о том, чтона резистивном элементе фазы напряжения и тока совпадают. Для цепи с резистором закон Ома в комплексной форме имеет вид:

, .

Мгновенная мощность произвольного участка цепи может быть определена как произведение мгновенных значений напряжения и тока этого участка и представляет собой скорость изменения энергии в данный момент времени. Учитывая отсутствие фазового сдвига между напряжением uRи токомiRна резистивном элементе, а также принимая значения начальных фаз напряжения и тока равными нулю, получим для мгновенной мощности резистивного элементаpR:

Читайте также:  Как разобрать мультиварку редмонд 4525

Мгновенная мощность pRсодержит две составляющие: постоянную, равную произведению действующих значений напряжения и тока, и переменную, частота изменения которой в два раза больше, чем частота напряжения (или тока). Мгновенная мощность резистора никогда не принимает отрицательных значений. Физически это означает, что имеет место только односторонняя передача энергии: от источника энергии к резистору. В резисторе энергия не накапливается, а преобразуется в другие виды энергии (например, в тепловую).

Векторная диаграмма цепи (рис. 3, а) изображена на рис. 3,б, а графики мгновенных значений токаiR, напряженияuRи мощностиpRрезистивного элемента представлены на рис. 3,в.

Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.

Первый: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:

где n — число ветвей, сходящихся в узле

Второй: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура:

где m — число ветвей, образующих контур

Токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (2.8) и (2.9), есть синусоидальные функции времени, которые мы рассматриваем как проекции некоторых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записывать как для действующих, так и для амплитудных значений.

Законы Киргофа в векторной форме

Законы Киргофа в символической форме

Из сказанного вытекают три возможных подхода к расчету цепей синусоидального тока: выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям выше; применение метода векторных диаграмм, использование в расчетах комплексных чисел и уравнений, являющихся основой символического метода.

Пример 2.4. В узле электрической цепи сходятся три ветви (рис. 18.1).

Токи первых двух ветвей известны:

Требуется записать выражение тока i3 и определить показания амперметров электромагнитной системы

Рис. 18.1 — Узел электрической цепи

Непосредственное сложение синусоид:

Сумма двух синусоид одинаковой чыстоты есть тоже синусоида той же частоты. Ее амплитуда и начальная фаза могут быть найдены по известным из математики формулам:

Читайте также:  Светодиодный светильник с датчиком звука для подъезда

2. Применение метода векторных диаграмм.

В соответствии с первым законом Киргофа в векторной форме для цепи на рис. 18.1 имеем:

В прямоугольной системе координат строим векторы I1m и I2m и находим вектор I3m, равный их сумме (рис. 18.2)

Так как треугольник oab прямоугольный, а сторона ab равна длине вектора I2m, то:

Если треугольник получается не прямоугольным, то применяется теорема косинусов.

Начальная фаза третьего тока равна углу наклона: вектора I3m к горизонтальной оси:

Рис. 18.2 — Векторная диаграмма токов

3. Решение символическим методом

Записываем комплексные амплитуды первого и второго токов:

По первому закону Киргофа в символической форме

Модуль последнего комплексного числа равен амплитуде третьего тока, а агрумент — начальной фазе.

Определяем показания амперметров. Приборы электромагнитной системы показывают действующие значения токов и напряжений, потому:

Обращаем внимание на то, что I1+I2≠I3. Это не ошибка. В цепях синусоидального тока для показаний приборов законы Кирхгофа не справедливы. Можно складывать мгновенные значения токов (синусоидальные функции времени), векторы и комплексные числа, но не численные значения токов и напряжений, не показания приборов.

Следует заметить, что первый из рассмотренных в примере методов из-за громоздкости вычислительных операций с синусоидами практически не применяется.

Метод векторных диаграмм удобен при решении относительно несложных задач.

В символической форме, как будет показано ниже, можно рассчитать сколь угодно сложную линейную цепь.

Математическая формулировка двух законов Кирхгофа для цепей синусоидального тока зависит от выбранного представления синусоидальных величин. Будем далее пользоваться для аналитического представления синусоидальных величин тригонометрическими функциями и соответствующими им комплексными значениями. При тригонометрической форме представления законы Кирхгофа определяют зависимость между мгновенными значениями соответствующих синусоидальных величин. При втором виде представления законы Кирхгофа определяют зависимость между комплексными значениями соответствующих синусоидальных величин.

Первый закон Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в каждый момент времени равна нулю. Для цепей синусоидального тока это означает, что в ветвях, сходящихся в любом узле, алгебраическая сумма мгновенных значений токов равна нулю:

Читайте также:  Квадратный канал для вытяжки

,

где n – число ветвей, сходящихся в узле.

Принято соглашение о том, что все синусоидальные токи, положительные направления которых выбраны к узлу (от узла), записываются со знаком плюс (минус).

.

Тогда по первому закону Кирхгофа

для любого момента времени.

Чтобы получить математическую формулировку первого закона Кирхгофа в комплексной форме, представим все синусоидальные токи соответствующими им комплексными значениями. Тогда первый закон Кирхгофа запишется следующим образом:

,

то есть алгебраическая сумма комплексных значений тока всех ветвей, сходящихся в каком-либо узле электрической цепи, равна нулю.

Векторная диаграмма токов:

.

Второй закон Кирхгофа.

По второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на резистивных, индуктивных и емкостных элементах (пассивные элементы) в любом контуре электрической цепи в каждый момент времени равна алгебраической сумме ЭДС этого контура. В цепях синусоидального тока значения напряжений на пассивных элементах любого контура непрерывно изменяются, но, тем не менее, алгебраические суммы мгновенных значений напряжений и ЭДС одинаковы:

,

где n – количество пассивных элементов в контуре, m – количество источников ЭДС в контуре. Будем считать, что все синусоидальные напряжения uk и ЭДС ek, для которых положительные направления совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, записываются со знаком плюс и в противном случае со знаком минус.

Чтобы получить математическую формулировку второго закона Кирхгофа в комплексной форме, представим все синусоидальные напряжения и ЭДС соответствующими комплексными значениями.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме записывается:

,

то есть алгебраическая сумма комплексных значений напряжений на всех пассивных элементах какого-либо контура электрической цепи равна алгебраической сумме комплексных значений всех ЭДС этого контура. В этом случае комплексные значения напряжений и ЭДС положительны, если совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

Векторная диаграмма ЭДС и напряжений:

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Ссылка на основную публикацию
Все про черепаху в домашних условиях
Сухопутные черепахи считаются одним из лучших типов для содержания в домашних условиях, поскольку отличаются повышенной жизнестойкостью и неприхотливостью к среде...
Вольтметр автомобильный цифровой схема
Некоторые автомобили не оборудованы вольтметром, что не дает возможности следить за состоянием напряжения бортовой сети автомобиля. Контрольная лампа зарядки аккумуляторной...
Вольтметр амперметр переменного тока
Цифровой амперметр (как и любой другой) предназначен для измерения силы тока в электрической цепи. Их включают в цепь, где электрическое...
Все сорта ромашек фото и названия
Декоративная ромашка — очень неприхотливый и эффектный цветок. Три года назад посадила два небольших кустика. Они быстро разрослись, оказались совершенно...
Adblock detector